درسنامه آموزشی فصل چهارم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی

1) جداول زیر را مطابق نمونه کامل کنید.

2) اگر $\sin \alpha =\frac{-1}{3}$ و انتهای کمان روبه‌رو به زاویهٔ $\alpha $ در ربع سوم باشد، محاسبات زیر را کامل کنید:

${{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha =.......\xrightarrow{\cos \alpha \lt 0}\cos \alpha =-\frac{.......}{.......}$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=.......\to \tan \alpha =.......$

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=.......\to \cot \alpha =2\sqrt{2}$

3) اگر $\cot \alpha =-2$ و $\cos \alpha \gt 0$ سایر نسبت‌های مثلثاتی $\alpha $ را بیابید.
حل: چون $\cos \alpha \gt 0$ و $\cot \alpha \lt 0$ لذا انتهای کمان $\alpha $ در ربع ……… واقع است. بنابراین:

$\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }=1+{{\cot }^{2}}\alpha =.......\to {{\sin }^{2}}\alpha =.......\to \sin \alpha =\frac{-1}{\sqrt{5}}$

${{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha =.......\to \cos \alpha =........$

$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }\to \tan \alpha =.......$

دو زاویهٔ $\alpha $ و $-\alpha $ را قرینهٔ یکدیگر می‌گویند. اگر در شکل زیر، $\alpha ={{30}^{{}^\circ }}$، نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $\overset{\Delta }{\mathop O{P}'H}\,$ عبارت‌اند از:

$\sin (-{{30}^{{}^\circ }})=\frac{-y}{r}=-\sin {{30}^{{}^\circ }}=\frac{-1}{2}$

$\cos (-{{30}^{{}^\circ }})=.......=.......=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (-{{30}^{{}^\circ }})=\frac{-y}{x}=.......=.......$

$\cot (-{{30}^{{}^\circ }})=.......=.......=.......$

در حالت کلی:

دو زاویهٔ $\alpha $ و $\beta $ را مکمل گوییم؛ هرگاه مجموع آنها ${{180}^{{}^\circ }}$ یا $\pi $ رادیان شود. مثلاً دو زاویهٔ ${{30}^{{}^\circ }}$ و ${{150}^{{}^\circ }}$ مکمل یکدیگرند. همچنین دو زاویهٔ $\frac{\pi }{3}$ رادیان و $\frac{2\pi }{3}$ رادیان مکمل یکدیگرند (چرا؟). در دایرهٔ مثلثاتی زیر اگر $\alpha ={{30}^{{}^\circ }}$ آنگاه با توجه به مختصات نقطهٔ ${P}''$ و انتهای کمان زاویهٔ ${{150}^{{}^\circ }}$ که در ربع دوم واقع است، نسبت‌های مثلثاتی زاویه ${{150}^{{}^\circ }}$ عبارت‌اند از:

$\sin {{150}^{{}^\circ }}=\sin ({{180}^{{}^\circ }}-{{30}^{{}^\circ }})=y=\sin {{30}^{{}^\circ }}=\frac{1}{2}$

$\cos {{150}^{{}^\circ }}=\cos ({{180}^{{}^\circ }}-{{30}^{{}^\circ }})=-x=-\cos {{30}^{{}^\circ }}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan {{150}^{{}^\circ }}=.......=.......$
$\cot {{150}^{{}^\circ }}=.......=.......$

در حالت کلی:

حاصل هریک از نسبت‌های مثلثاتی زیر را مطابق نمونه به‌دست آورید.

$\tan \frac{2\pi }{3}=\tan (\pi -\frac{\pi }{3})=-\tan \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$

$\cos \frac{3\pi }{4}=\cos (.............)=.............$
$\sin {{120}^{{}^\circ }}=\sin ({{180}^{{}^\circ }}-......)=..........................=.............$
$\cot ({{120}^{{}^\circ }})=-\cot (......)=-\cot ({{180}^{{}^\circ }}-......)=.............$
$\cos ({{135}^{{}^\circ }})=..........................=..........................=.............$

نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ ${{210}^{{}^\circ }}$ را به‌دست آورید.

انتهای کمان زاویه ${{210}^{{}^\circ }}$ در ربع سوم واقع است. در ضمن ${{210}^{{}^\circ }}={{180}^{{}^\circ }}+{{30}^{{}^\circ }}$، یعنی اختلاف دو زاویهٔ ${{210}^{{}^\circ }}$ و ${{30}^{{}^\circ }}$ برابر با $\pi $ رادیان است. در دایره مثلثاتی مقابل، اگر $\alpha ={{30}^{{}^\circ }}$ آنگاه با توجه به مختصات نقطه ${P}'''$، نسبت‌های مثلثاتی زاویه ${{210}^{{}^\circ }}$ عبارت‌اند از:

$\sin {{210}^{{}^\circ }}=\sin ({{180}^{{}^\circ }}+{{30}^{{}^\circ }})=-y=-\sin {{30}^{{}^\circ }}=\frac{-1}{2}$
$\cos {{210}^{{}^\circ }}=...............=-x=...............$
$\tan {{210}^{{}^\circ }}=\frac{\sin {{210}^{{}^\circ }}}{\cos {{210}^{{}^\circ }}}=...........$
$\cot {{210}^{^{{}^\circ }}}=.............=...........$

در حالت کلی:

حاصل هریک از نسبت‌های مثلثاتی زیر را مطابق نمونه بیابید.

$\sin {{225}^{{}^\circ }}=\sin ({{180}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }})=-\sin {{45}^{{}^\circ }}=\frac{-\sqrt{2}}{2}$

$\tan {{225}^{{}^\circ }}=..................................$
$\cos (\frac{-4\pi }{3})=\cos ....=\cos (\pi +....)=..........=..........$
$\sin (\frac{-7\pi }{6})=..................................$
$\cot (\frac{5\pi }{4})=..................................$

دو زاویهٔ $\alpha $ و $\beta $ را متمم گوییم؛ هرگاه مجموع آنها ${{90}^{{}^\circ }}$ یا $\frac{\pi }{2}$ رادیان شود. مثلاً دو زاویهٔ $\alpha ={{30}^{{}^\circ }}$ و $\beta ={{60}^{{}^\circ }}$ در دایره مثلثاتی مقابل متمم یکدیگرند. در این حالت:

$\sin {{30}^{{}^\circ }}=\cos {{60}^{{}^\circ }}=\frac{1}{2}$
$\cos {{30}^{{}^\circ }}=\sin {{60}^{{}^\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan {{30}^{{}^\circ }}=\cot {{60}^{{}^\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cot {{30}^{{}^\circ }}=\tan {{60}^{{}^\circ }}=\sqrt{3}$

زاویه‌ای معرفی کنید که با متمم خودش برابر باشد. برای چنین زاویه‌ای داریم:

$\sin ......=\cos ......=......$
$\tan ......=\cot ......=......$

همچنین زاویه …… و  $\frac{\pi }{2}$ رادیان متمم یکدیگرند؛ بنابراین:

$\sin \frac{\pi }{2}=\cos ......=......$
$\tan \frac{\pi }{2}=\cot ......=......$

در حالت کلی:

به عبارت دیگر: اگر دو زاویهٔ $\alpha $ و $\beta $ متمم باشند (رادیان $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$) آنگاه سینوس یکی با کسینوس دیگری و تانژانت یکی با کتانژانت دیگری برابر است. به بیان دیگر:

$\sin \alpha =\cos \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\tan \alpha =\cot \beta $
$\cos \alpha =\sin \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cot \alpha =\tan \beta $

نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $\frac{2\pi }{3}$ رادیان را به‌دست آورید.

چون انتهای کمان زاویهٔ $\frac{2\pi }{3}$ رادیان در ربع دوم واقع است، به دو روش می‌توان نسبت‌های مثلثاتی آن را یافت.

روش اول- زاویه $\frac{2\pi }{3}$ رادیان و $\frac{\pi }{3}$ رادیان و $\frac{\pi }{3}$ رادیان مکمل یکدیگرند؛ یعنی $\frac{2\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}$. بنابراین:

$\sin \frac{2\pi }{3}=\sin (\pi -\frac{\pi }{3})=.......=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos \frac{2\pi }{3}=.......=-\cos \frac{\pi }{3}=.......$
$\tan \frac{2\pi }{3}=.......=.......=.......$
$\cot \frac{2\pi }{3}=.......=.......=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

روش دوم- اختلاف دو زاویهٔ $\frac{2\pi }{3}$ رادیان و $\frac{\pi }{6}$ رادیان برابر با $\frac{\pi }{2}$ رادیان است؛ یعنی $\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$. بنابراین با توجه به علامت نسبت‌های مثلثاتی در ربع دوم:

$\sin \frac{2\pi }{3}=\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{2\pi }{3}=\cos (.......)=-\sin .......=-\frac{1}{2}$
$\tan \frac{2\pi }{3}=.......=-\cot \frac{\pi }{6}=.......$
$\cot \frac{2\pi }{3}=.......=.......=.......$

در حالت کلی:

یادآوری می‌کنیم برای رسم زاویه در دایرهٔ مثلثاتی نقطهٔ $A$ در شکل زیر مبدأ حرکت است. برخی از زوایا از یک دور کامل دایرهٔ مثلثاتی یعنی ${{360}^{{}^\circ }}$ 360 بزرگ‌ترند مانند زاویهٔ ${{405}^{{}^\circ }}$.

برای رسم چنین زاویه ای ابتدا در جهت مثلثاتی یک دور کامل را طی می‌کنیم؛ سپس ادامهٔ زاویه را که به اندازه ${{45}^{{}^\circ }}$ است رسم می‌کنیم. در این حالت دو زاویه ${{405}^{{}^\circ }}$ و ${{45}^{{}^\circ }}$ را هم انتها می‌نامیم.

دو زاویهٔ $\alpha $ و $\beta $ را هم انتها گوییم؛ هرگاه اضلاع انتهایی آنها بر هم منطبق شود (شکل زیر).

اگر دو زاویه هم انتها باشند، اختلاف آنها مضرب زوجی از $\pi $ رادیان یا ${{180}^{{}^\circ }}$ است. مثلاً زاویه‌های ${{405}^{{}^\circ }}$ و ${{45}^{{}^\circ }}$ هم انتها هستند؛ زیرا ${{405}^{{}^\circ }}-{{45}^{{}^\circ }}={{360}^{{}^\circ }}$ (شکل زیر) در این حالت نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های ${{405}^{{}^\circ }}$ و ${{45}^{{}^\circ }}$ یکسان‌اند. چون انتهای کمان زاویهٔ ${{45}^{{}^\circ }}$ در ربع اول است، بنابراین:

$\sin {{405}^{{}^\circ }}=\sin ({{360}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }})=\sin {{45}^{{}^\circ }}=.......$
$\cos {{405}^{{}^\circ }}=.......=.......=.......$
$\tan {{405}^{{}^\circ }}=.......=.......=.......$
$\cot {{405}^{{}^\circ }}=.......=.......=.......$

حال همین بررسی را روی زاویهٔ $\frac{5\pi }{3}$ رادیان انجام دهید؛ چون $\frac{5\pi }{3}=2\pi -........$ بنابراین دو زاویه ....... و $\frac{5\pi }{3}$ رادیان هم انتها هستند (شکل زیر).

چون انتهای کمان زاویهٔ $\frac{5\pi }{3}$ رادیان در ربع چهارم است؛ بنابراین:

$\sin \frac{5\pi }{3}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{3})=\sin (\frac{-\pi }{3})=.......$
$\cos \frac{5\pi }{3}=..........$
$\tan \frac{5\pi }{3}=..........$
$\cot \frac{5\pi }{3}=..........$

در حالت کلی برای هر عدد صحیح $k$،